מתמטיקה נמצאת סביבנו, והיא עיצבה את הבנתנו את העולם באינספור דרכים. בשנת 2013, המתמטיקאי וסופר המדע איאן סטיוארט פרסם ספר על17 משוואות ששינו את העולם. לאחרונה נתקלנו בשולחן הנוח הזהחשבון הטוויטר של פול קוקסוןעַל יְדֵימורה למתמטיקה והבלוגר לארי פיליפסשמסכם את המשוואות. (ההסבר שלנו על כל אחד מהם הוא להלן):
הנה עוד קצת על המשוואות הנפלאות הללו שעיצבו את המתמטיקה וההיסטוריה האנושית:
1. משפט פיתגורס
משפט זה הוא הבסיס להבנתנו את הגיאומטריה. הוא מתאר את הקשר בין צלעות משולש ישר זווית במישור שטוח: ריבוע את אורכי הצלעות הקצרות, a ו-b, חבר את אלה יחדיו, ותקבל את הריבוע של אורך הצלע הארוכה, ג.
הקשר הזה, במובנים מסוימים, למעשה מבדיל בין הגיאומטריה האוקלידית הרגילה, השטוחה, לבין גיאומטריה מעוקלת ולא אוקלידית. לדוגמה, משולש ישר זווית המצייר על פני השטח של כדור אינו צריך ללכת לפי משפט פיתגורס.
2. לוגריתמים
לוגריתמים הם ההפוכים, או ההפכים, של פונקציות אקספוננציאליות. לוגריתם של בסיס מסוים אומר לך לאיזה כוח אתה צריך להעלות את הבסיס הזה כדי לקבל מספר. לדוגמה, לוגריתם הבסיס 10 של 1 הוא log(1) = 0, שכן 1 = 100; log(10) = 1, שכן 10 = 101; ו-log(100) = 2, שכן 100 = 102.
המשוואה בגרפיקה, log(ab) = log(a) + log(b), מציגה את אחד היישומים השימושיים ביותר של לוגריתמים: הם הופכים את הכפל לחיבור.
עד לפיתוח המחשב הדיגיטלי, זו הייתה הדרך הנפוצה ביותר להכפיל במהירות מספרים גדולים, מה שהאיץ מאוד את החישובים בפיזיקה, אסטרונומיה והנדסה.
3. חֶשְׁבּוֹן
הנוסחה שניתנה כאן היא ההגדרה של הנגזרת בחשבון. הנגזרת מודדת את הקצב שבו כמות משתנה. לדוגמה, אנו יכולים לחשוב על מהירות, או מהירות, כנגזרת של המיקום - אם אתה הולך במהירות של 3 מייל (4.8 ק"מ) לשעה, אז כל שעה, שינית את המיקום שלך ב-3 מיילים.
מטבע הדברים, חלק ניכר מהמדע מעוניין להבין כיצד דברים משתנים, והנגזרת והאינטגרל - הבסיס השני של החשבון - יושבים בלב האופן שבו מתמטיקאים ומדענים מבינים שינוי.
4. חוק הכבידה
חוק הכבידה של ניוטון מתאר את כוח הכבידה בין שני עצמים, F, במונחים של קבוע אוניברסלי, G, מסות שני העצמים, m1 ו-m2, והמרחק בין העצמים, r. חוק ניוטון הוא פיסת היסטוריה מדעית יוצאת דופן - הוא מסביר, כמעט בצורה מושלמת, מדוע כוכבי הלכת נעים כפי שהם נעים. גם הטבע האוניברסלי שלה מדהים - זה לא רק איך עובד כוח הכבידה על כדור הארץ, או במערכת השמש שלנו, אלא בכל מקום ביקום.
כוח המשיכה של ניוטון החזיק מעמד היטב במשך 200 שנה, וזה לא היה עד לתיאוריה של איינשטייןשהוא יוחלף.
5. השורש הריבועי של -1
למתמטיקאים ישתמיד הרחיב את הרעיון של מה הם בעצם מספרים, מעבר ממספרים טבעיים, למספרים שליליים, לשברים, למספרים הממשיים. השורש הריבועי של -1, כתוב בדרך כללאֲנִי,משלים את התהליך הזה, ומוליד את המספרים המרוכבים.
מבחינה מתמטית, המספרים המרוכבים הם אלגנטיים ביותר. האלגברה עובדת בצורה מושלמת כמו שאנחנו רוצים שהיא תפעל - לכל משוואה יש פתרון של מספרים מרוכבים, מצב שאינו נכון עבור המספרים הממשיים: x2+ 4 = 0 אין פתרון מספר ממשי, אבל יש לו פתרון מורכב: השורש הריבועי של -2. ניתן להרחיב את החשבון למספרים המרוכבים, ועל ידי כך אנו מוצאים כמה סימטריות ותכונות מדהימות של המספרים הללו. מאפיינים אלה הופכים את המספרים המרוכבים לחיוניים באלקטרוניקה ובעיבוד אותות.
6. נוסחת הפוליהדרה של אוילר
פוליהדרות הן הגרסאות התלת מימדיות של מצולעים, כמו הקובייה מימין. פינותיו של פולידרון נקראות קודקודים שלו, הקווים המחברים את הקודקודים הם הקצוות שלו, והמצולעים המכסים אותו הם פניו.
לקובייה יש 8 קודקודים, 12 קצוות ו-6 פנים. אם אני מוסיף את הקודקודים והפנים יחד ומחסיר את הקצוות, אני מקבל 8 + 6 - 12 = 2.
הנוסחה של אוילר קובעת שכל עוד הפולידרון שלך מתנהג בצורה טובה במידה מסוימת, אם תוסיף את הקודקודים והפנים יחד, ותחסיר את הקצוות, תמיד תקבל 2. זה יהיה נכון אם לפולידרון שלך יש 4, 8, 12, 20 , או כל מספר פנים.
התצפית של אוילר הייתה אחת הדוגמאות הראשונות למה שנקרא כיום אאינוריאנטי טופולוגי- מספר או תכונה משותפים לסוג של צורות הדומות זו לזו. לכל המחלקה של פוליהדרות 'מתנהגות טוב' יהיו V + F – E = 2. תצפית זו, יחד עם הפתרון של אוילר לבעיית הגשרים של קניגסבורג, סללה את הדרך לפיתוח הטופולוגיה, ענף במתמטיקה החיוני לפיזיקה המודרנית.
7. התפלגות נורמלית
התפלגות ההסתברות הנורמלית, שלה גרף עקומת הפעמון המוכר משמאל, נמצאת בכל מקום בסטטיסטיקה.
העקומה הרגילה משמשת בפיזיקה, ביולוגיה ומדעי החברה למודל של תכונות שונות. אחת הסיבות לכך שהעקומה הרגילה מופיעה לעתים קרובות כל כך היא שהיאמתאר את ההתנהגות של קבוצות גדולות של תהליכים עצמאיים.
8. משוואת גל
זוהי משוואה דיפרנציאלית, או משוואה המתארת כיצד מאפיין משתנה לאורך זמן במונחים של הנגזרת של אותה תכונה, כאמור לעיל. משוואת הגלים מתארת את התנהגותם של גלים – מיתר גיטרה רוטט, אדוות בבריכה לאחר זריקת אבן או אור שיוצא מנורת ליבון. משוואת הגלים הייתה משוואת דיפרנציאלית מוקדמת, והטכניקות שפותחו כדי לפתור את המשוואה פתחו את הדלת להבנת משוואות דיפרנציאליות אחרות.
9. פורייה טרנספורמציה
התמרת פורייה חיונית להבנת מבני גל מורכבים יותר, כמו דיבור אנושי. בהינתן פונקציית גל מסובכת ומבולגנת כמו הקלטה של אדם מדבר, טרנספורמציה של פורייה מאפשרת לנו לשבור את הפונקציה המבולגנת לשילוב של מספר גלים פשוטים, מה שמפשט מאוד את הניתוח.
טרנספורמציה של פורייה היא לב ליבו של עיבוד וניתוח אותות מודרניים ודחיסת נתונים.
10. משוואות Navier-Stokes
כמו משוואת הגלים, זוהי משוואה דיפרנציאלית. משוואות Navier-Stokes מתארות את התנהגותם של נוזלים זורמים - מים נעים דרך צינור, זרימת אוויר מעל כנף מטוס או עשן העולה מסיגריה. אמנם יש לנו פתרונות משוערים של משוואות Navier-Stokes המאפשרות למחשבים לדמות תנועת נוזלים בצורה טובה למדי, אבל זו עדיין שאלה פתוחה (עם פרס של מיליון דולר) האם ניתן לבנות פתרונות מדויקים מתמטית למשוואות.
11. משוואות מקסוול
קבוצה זו של ארבע משוואות דיפרנציאליות מתארת את ההתנהגות והקשר בין חשמל (E) ומגנטיות (H).
המשוואות של מקסוול מתייחסות לאלקטרומגנטיות הקלאסית כמו חוקי התנועה של ניוטון וחוק הכבידה האוניברסלית למכניקה הקלאסית - הן הבסיס להסבר שלנו כיצד האלקטרומגנטיות עובדת בקנה מידה יומיומי. אולם כפי שנראה, הפיזיקה המודרנית מסתמכת על הסבר מכאני קוונטי של אלקטרומגנטיות, וכעת ברור שהמשוואות האלגנטיות הללו הן רק קירוב שעובד היטב בקנה מידה אנושי.
12. החוק השני של
זה קובע שבמערכת סגורה, האנטרופיה (S) תמיד קבועה או עולה. אנטרופיה תרמודינמית היא, באופן גס, מדד למידת הפרעה של המערכת. מערכת שמתחילה את דרכה במצב מסודר, לא אחיד - נניח, אזור חם ליד אזור קר - תמיד תטו להתאזן, כאשר חום זורם מהאזור החם לאזור הקר עד לפיזור אחיד.
החוק השני של התרמודינמיקה הוא אחד המקרים הבודדים בפיזיקה שבהם הזמן חשוב בצורה זו. רוב התהליכים הפיזיקליים הם הפיכים - אנחנו יכולים להריץ את המשוואות לאחור מבלי לבלבל דברים. החוק השני, לעומת זאת, פועל רק בכיוון הזה. אם נשים קוביית קרח בכוס חם, אנחנו תמיד רואים את קוביית הקרח נמסה, ולעולם לא רואים את הקפה קופא.
13. תורת היחסות
איינשטיין שינה באופן קיצוני את מהלך הפיזיקה עם תיאוריות היחסות הפרטית והכללית שלו. המשוואה הקלאסית E = mc2קובע שחומר ואנרגיה שווים זה לזה.הביאו רעיונות כמו מהירות האור שהיא מגבלת מהירות אוניברסלית ומעבר הזמן שונה עבור אנשים שנעים במהירויות שונות.
תורת היחסות הכללית מתארת את כוח הכבידה כעקמומיות וקיפול של המרחב והזמן עצמם, והייתה השינוי הגדול הראשון בהבנתנו את כוח המשיכה מאז חוק ניוטון. תורת היחסות הכללית חיונית להבנתנו את המקורות, המבנה והגורל הסופי של היקום.
14. משוואת שרדינגר
זוהי המשוואה העיקרית במכניקת הקוונטים. כפי שתורת היחסות הכללית מסבירה את היקום שלנו בקנה המידה הגדול ביותר שלו, משוואה זו שולטת בהתנהגותם של אטומים וחלקיקים תת-אטומיים.
מכניקת הקוונטים המודרנית ותורת היחסות הכללית הן שתי התיאוריות המדעיות המוצלחות ביותר בהיסטוריה - כל התצפיות הניסיוניות שעשינו עד היום תואמות לחלוטין את התחזיות שלהן. מכניקת קוונטים נחוצה גם לרוב הטכנולוגיה המודרנית - כוח גרעיני, מחשבים מבוססי מוליכים למחצה ולייזרים בנויים כולם סביב תופעות קוונטיות.
15. תורת המידע
המשוואה שניתנה כאן היא עבוראנטרופיית מידע של שאנון. כמו באנטרופיה התרמודינמית שניתנה לעיל, זהו מדד לאי-סדר. במקרה זה, הוא מודד את תוכן המידע של הודעה - ספר, תמונת JPEG שנשלחה באינטרנט, או כל דבר שניתן לייצג באופן סמלי. האנטרופיה של שאנון של הודעה מייצגת גבול תחתון לכמה ניתן לדחוס את ההודעה מבלי לאבד חלק מהתוכן שלו.
מדד האנטרופיה של שאנון השיק את המחקר המתמטי של מידע, ותוצאותיו מרכזיות לאופן שבו אנו מתקשרים ברשתות כיום.
16. תורת הכאוס
המשוואה הזו היאהמפה הלוגיסטית של מאי. הוא מתאר תהליך המתפתח בזמן - xt+1, הרמה של כמות כלשהי x בתקופת הזמן הבאה - ניתנת על ידי הנוסחה מימין, והיא תלויה ב-xt, רמת x כרגע. k הוא קבוע נבחר. עבור ערכים מסוימים של k, המפה מראה התנהגות כאוטית: אם נתחיל בערך התחלתי מסוים של x, התהליך יתפתח בדרך אחת, אבל אם נתחיל בערך התחלתי אחר, אפילו אחד שקרוב מאוד לערך הראשון, התהליך יתפתח בצורה שונה לחלוטין.
אנו רואים התנהגות כאוטית - התנהגות רגישה לתנאים ראשוניים - כמו זו בתחומים רבים. מזג האוויר הוא דוגמה קלאסית - שינוי קטן בתנאי האטמוספירה ביום אחד יכול להוביל למערכות מזג אוויר שונות לחלוטין כמה ימים לאחר מכן, הנלכד לרוב ברעיון שלפרפר מנפנף בכנפיו ביבשת אחת וגורם להוריקן ביבשת אחרת.
17. משוואת בלאק-סקולס
משוואה דיפרנציאלית נוספת, Black-Scholes מתארת כיצד מומחי פיננסים וסוחרים מוצאים מחירים עבור נגזרים. נגזרים - מוצרים פיננסיים המבוססים על נכס בסיס כלשהו, כמו מניה - הם חלק עיקרי של המערכת הפיננסית המודרנית.
משוואת Black-Scholes מאפשרת לאנשי מקצוע פיננסיים לחשב את הערך של מוצרים פיננסיים אלה, בהתבסס על תכונות הנגזר ונכס הבסיס.
מאמר זה פורסם במקור על ידיBusiness Insider.
עוד מ-Business Insider:
