כל המתמטיקה המגניבה של 2025 (כולל שתי הוכחות למשפט יווני עתיק אחד)

ברוכים הבאים לשנת 2025! שנה מקסימה, מלאה בדברים מצוינים. ברור, אנחנו לא מדברים על מצב כדור הארץ - זהו, הכל בחשבון. אבל המתמטיקה?זֶהמענג.

נתחיל ללא ספק בעובדה הפשוטה ביותר לגבי השנה החדשה הזו: 2025 היא ריבוע מושלם. זה שווה ל-45 × 45, כלומר אם נצייר ריבוע ישן גדול עם אורך הצלע 45 יחידות, השטח הכולל יהיה 2025 יחידות בריבוע.

אבל זה לא הכל: בגלל שזה ריבוע אי זוגי, זה גם מספר מתומן במרכז - שבדומה למספרים ריבועיים, זה בדיוק מה שהוא נשמע כמו: זה אומר שאנחנו יכולים לצייר מושלםתוך שימוש ב-2025 חלקים בדיוק.

אנחנו יכולים להיות מורכבים עוד יותר: 2025 הוא מספר 19 צלעות (למעטים מכם שאינם יודעים שמות מקצועיים, זוהי כמובן צורה בעלת 19 צלעות). לרוע המזל עבורנו, זה מספר שלילי של אנאדקגונל - ה-15 - אז זה קצת בלתי אפשרי לצייר.

עם זאת, אנו יודעים שזה נכון, מכיוון שכל המספרים ה-enneadecagonal ניתנים על ידי הנוסחה הבאה:

נ_מ=מ(17מ- 15)/2

ופלפולמ= -15 לתוך המתכון הזה נותן לנו 2025.

השמות של 2025

יחד עם ריבוע, מתומן ו-enneadecagonal, ל-2025 יש כמה שמות יפים. זה מספר רב עוצמה: מספר שלםמכזה שאםע|מ, אזע²|מ. הסיבה לכך פשוטה למדי - זה 45², ששווה ל-(3²)²×5²- או במילים אחרות, כל גורם ראשוני שלו מופיע לפחות פעמיים.

זה גם מספר בר-פקטור, או מספר טאו, מה שאומר שהוא מתחלק במספר המחלקים שיש לו. כדי לקחת דוגמה פשוטה יותר, חשבו על 18: יש לו שישה מחלקים - 1, 2, 3, 6, 9 ו-18 - והוא מתחלק בשש. באופן דומה, לשנת 2025 יש 15 גורמים, ואחד מהם הוא אכן 15 - כל הרשימה, למען הסר ספק, היא 1, 3, 5, 9, 15, 25, 27, 45, 75, 81, 135, 225, 405, 675 ו-2025.

המשפטים של 2025

בואו נעבור לדברים הטובים, נכון? כבר ראינו ש-2025 היא ריבוע מושלם, אבל חפרו קצת יותר לעומק ורואים כמה דפוסים אפילו יפים יותר. ארבעים וחמש, השורש הריבועי של המספר, הוא גם מספר משולש, וזֶהפירושו שנוכל לכתוב אותו כסכום של מספרים עוקבים. כָּזֶה:

45 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9.

זה אומר ש

2025 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9)²,

וזה בהחלט נחמד, אבל זה לא הכל. תודה לניקומכוס, חסיד יווני עתיק שלשחי בין השנים 60 לספירה בסביבות 120 לספירה, אנו יודעים שלמספרים שניתן לכתוב כך – הריבועים של מספרים משולשים – יש גם תכונה מעניינת נוספת: ניתן לשכתב אותם כסכום הקוביות של אותם מספרים. במילים אחרות, בגלל

2025 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9)²,

אנחנו גם יודעים את זה

2025 = 1³+ 2³+ 3³+ 4³+ 5³+ 6³+ 7³+ 8³+ 9³.

זה לא מגניב?! יש כמה דרכים להוכיח זאת - אחת היפות היא ההוכחה הזו ללא מילים:

דרך נוספת היא להשתמש במאפיינים של מספרי הריבוע והקוביה עצמם - למעשה, זה המקום שבו ניקומכוס הזקן מקבל למעשה את הקרדיט, במקום לשים לב למשפט עצמו. התוצאה המכונה שלו היא צעד אחורה, ואומרת באופן טכני את זה:

∀נ∈נ>0:נ³= (נ²-נ+1) + (נ²-נ+3) + … + (נ²+נ-1).

זה אולי נראה... ובכן, כאילו זה כתוב בשפה אחרת, וזה בערך כך, אבל בעצם זה רק אומר שכל מספרנניתן לכתוב בקוביות כסכום שלנמספרים אי-זוגיים עוקבים המתחילים ב- (נ²-נ+1). כָּזֶה:

1 = 1

8 = 3 + 5

27 = 7 + 9 + 11

64 = 13 + 15 + 17 + 19

125 = 21 + 23 + 25 + 27 + 29

וְכֵן הָלְאָה.

עכשיו, כתוב ככה, אתה כנראה כבר יכול לראות דפוס נחמד, נכון? אם תסכם את הראשוןקמספרים בקוביות, אתה הולך לקבל

1³+ 2³+ 3³+ … +ק³= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + … + (ק²-ק+1) + (ק²-ק+3) + … + (ק²+ק-1).

אבל עכשיו בואו נסתכל על מספרי הריבועים. יש להם גם דפוס דומה - ניתן לכתוב אותם כך:

1 = 1

4 = 1 + 3

9 = 1 + 3 + 5

16 = 1 + 3 + 5 + 7

25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9

וכן הלאה – כלומר הריבוע שלנשווה לסכום הראשוןנמספרים אי-זוגיים.

אבל נחשו מה? הסכום הזה שמצאנו קודם הואבדיוק זה– זה הסכום של הראשון (ק²+ק)/2 מספרים אי-זוגיים! במילים אחרות,

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + … + (ק²-ק+1) + (ק²-ק+3) + … + (ק²+ק−1) = ((ק²+ק)/2)².

אז נשאר רק דבר אחד להוכיח, וזה (ק²+ק)/2 שווה לסכום הראשוןקמספרים טבעיים. למרבה המזל, זה די קל - זו ההגדרה של מספר משולש (או, אם אתה מעדיף, אתה יכול לעשות זאת חזותית:

עם זאת אתה מוכיח זאת, הלא משקר: הסכום של (נקוביות) שווה ל-(סכום שלנ) בריבוע. ועכשיו זה הזמן הטוב ביותר להתלהב מהתוצאה הקטנה והנחמדה הזו, שכן 2025 מוכיחה זאת בצורה מושלמת. שנה טובה!