זה רעיון היישר מחצר בית הספר: שיום אחד אתה עלול לספור בטעות כל כך גבוה עד שתעבור על חוקי המתמטיקה. עם זאת, נראה שהדפסה מקדימה חדשה (שעדיין לא עברה ביקורת עמיתים) עשתה בדיוק את זה - ויכולות להיות לה השלכות עצומות על האופן שבו אנחנו צריכים להבין את האינסוף.
ראוי שתוצאה מביכה כזו הייתה מגיעה מתורת הקבוצות: זה תחום עם מוניטין של מופשט ולעתים קרובות נוגד את האינטואיציה; יש לו אלפבית ושפה אזוטריים משלו; והוא מפורסם בתוצאות שנראות בסיסיות מדי מכדי שטרחו להוכיח (ראה:) או כל כך אבסורדי עד כדי כך שאתה חושב שהם בטח עשו טעות איפשהו לאורך הדרך (ראה:1 + 1 = 1).
הבעיה היא שאנחנו באמת לא יכולים בלי זה. בלב תורת הקבוצות נמצא החיפוש אחר דרך לאלף מתמטיקה אחת ולתמיד - להבין מה אנחנו יכולים להוכיח, ומה אנחנו יכולים רק להניח. כדי לעשות זאת, מתמטיקאים צריכים לפעמים לחפש את מקרי הקצה: קטעי המתמטיקה שבהם הדברים כל כך ענקיים, מוזרים או בסיסיים, עד שכל הכללים שאנו מקבלים כמובנים מאליהם מתחילים להתקלקל.
למרבה הצער, לפעמים הם מצליחים.
סולם האינסוף
"אינסוף" הואולעיתים. לא מספיק לומר, למשל, ש"אינסוף הוא מספר המספרים הטבעיים שיש" – כי אם זה המצב, כמה מספרים זוגיים יש? כמה שברים? כמה אם אתה כוללגַם כֵּן?
התשובה לכל האמור לעיל היא, באופן לא מפתיע, גם "אינסוף" - אבל יש לפחות שני גדלים שונים שלו בתצוגה שם. מתמטיקאים יכולים להוכיח, מסתבר, שקבוצות המספרים הזוגיים, המספרים השלמים והשברים הם כולם באותו גודל - מספר אינסופי המכונה ℵ0(מבוטא "אלף-null"). מכלול הריאליים, לעומת זאת - כלומר כולם רציונלייםולא רציונלימספרים - הוא הרבה יותר גדול.
עם זאת, עד כמה גדולה יותר היא שאלה שכבר דוחפת את גבולות מה שאנו יודעים ויכולים להוכיח. אנחנו נכנסים לעולם של "הקרדינלים הגדולים" עכשיו: מספרים "כל כך גדולים עד שאי אפשר להוכיח שהם קיימים באמצעות האקסיומות הסטנדרטיות של המתמטיקה", הסבירה ג'ואן באגריה, אחת משלושת מחברי המאמר החדש ומתמטיקאית, לוגיקאית, ותיאורטיקן סטים ב-ICREA ובאוניברסיטת ברצלונה בספרד.
זו עובדה שהיא גם מגבלה וגם חוזק. קיים מחוץ ל-ZFC - הראשוניות מייצגת "זארמלו-וraenkel plus Axiom ofגhoice", שתי מערכות מינימליות של כללים המהוות את הבסיס כמעט לכל המתמטיקה בעולם - פירושו שעצם קיומם של קרדינלים גדולים "צריך להניח כאקסיומות חדשות", אמר באגריה ל-IFLScience. במילים אחרות, זה לא ניתן להוכחה - רק כביכול נכון באותה דרך שבה אנחנו לוקחים את זה כמובן מאליוx=x.
אבל העמדה הזו מחוץ לכללים הרגילים הופכת גם את הקרדינלים הגדולים לכלי רב ערך להתמודדות עם התחומים היותר צנועים במתמטיקה. הם "נותנים לנו הבנה עמוקה יותר של המבנה והטבע של […] היקום המתמטי", אמר בגריה. "הם מאפשרים לנו להוכיח משפטים חדשים רבים, ולכן להכריע בשאלות מתמטיות רבות שאינן ניתנות להכרעה באמצעות אקסיומות ZFC בלבד."
למשל: אפילו בעולם הבלתי מוחשי הזה של אינסוף בלתי ניתן להוכחה,סוג של סדרניתן לחוש - לפחות, במידה. יש את הקרדינלים הבלתי נגישים, מסביר באגריה - הקטן מבין הקרדינלים הגדולים (המילה "קטן" היא קצת נושאת עומס כאן, כפי שאתה יכול לדמיין). מעל אלה, יש את הקרדינלים הניתנים למדידה; בסופו של דבר, אנו מגיעים לקרדינלים קומפקטיים, סופר-קומפקטיים, ואולי בשם צנוע "ענקיים".
אבל ללכת הרבה יותר רחוק, ואפילו הסיווגים האזוטריים האלה מתחילים להתקלקל. "בסופו של דבר, הקרדינלים הגדולים נעשים כל כך חזקים שהם נעשים בסתירה לאקסיומה של הבחירה", אומר בגריה. "זהו העולם של קרדינלים גדולים מעבר לבחירה, שבקושי יכול להתקבל כנכון מכיוון שאקסיומה של בחירה נחוצה ברוב תחומי המתמטיקה."
ברוכים הבאים לג'ונגל
לתוך ההיררכיה המוזרה יותר הזו נזרקו המספרים החדשים. מתויגים על ידי מגליהם כקרדינלים "מדוייקים" ו"אולטרה מדוייקים", הם "גרים באזור העליון של ההיררכיה של הקרדינלים הגדולים", מסביר באגריה; "הם תואמים לאקסיומה של הבחירה, ויש להם ניסוחים טבעיים מאוד, כך שניתן לקבל אותם בקלות."
עד כאן, כל כך הגיוני - אבל הקרדינלים החדשים בכל זאת מאייתים צרות לתמונות האינסוף של כמה מתמטיקאים. הבעיה טמונה בתכונה הנקראת Hereditary Ordinal Definability, או "HOD" - הרעיון שניתן להבין קבוצה, אפילו קבוצה גדולה לאין שיעור, על ידי סוג של "ספירה עד" שלה.
זה כלי שימושי להתנצחויות אינסוף - וכמה מתמטיקאים קיוו שהוא ישים יותר באופן כללי. אם הכל, או לפחותבעצםניתן להגדיר את כל הקבוצות - כולל אלה הגדולים לאין שיעור - באופן זה, פירוש הדבר היה שהכאוס של הקרדינלים הגדולים היה בליפ ולא התפרקות; שאקסיומה של בחירה תחזור להיות מוצדקת אפילו בראש ההיררכיה.
זו הסיבה שבמשך העשור האחרון לערך, תיאורטיקנים של קבוצות דנו במה שמכונה "השערת HOD". זה בעצם פורמליזציה של המשאלה הזו: "השערת ה-HOD אומרת לנו שהיקום המתמטי מסודר ו'קרוב' ליקום של עצמים מתמטיים הניתנים להגדרה", מחבר שותף של המאמר החדש חואן אגילרה, לוגיקן מתמטי באוניברסיטה הטכנולוגית של וינה באוסטריה, הסביר ל-IFLScience.
לפתור את ההשערה כך או אחרת יהיה מסובך, בלשון המעטה. הודות למוזרותם של הקרדינלים הגדולים, תיאורטית זה ידרוש פחות מאמץ כדי להוכיח אמת מאשר שקר - אבל תשובות סופיות לשני הכיוונים היו חמקמקות. הראיות, לעומת זאת, היו פחות: "אנשים רבים חשבו, עד עכשיו, שהשערת HOD היא כנראה נכונה", אמר באגריה, "עם עדויות שהגיעו מהעבודה על מודלים פנימיים קנוניים עבור קרדינלים גדולים שבוצעה בעשורים האחרונים. ”
ב"כל הדגמים האלה", מסביר באגריה, נראה היה שהשערת HOD מתקיימת. אז מה השתנה?
שאלה מדוייקת
בתחום שכבר מוגדר על ידי חוסר אינטואיטיביות ואי-מוחשיות, הקרדינלים המדויקים והאולטרה-מדוייקים שהוצגו בקדם-דפוס החדש עדיין מצליחים להיות מוזרים במיוחד.
"בדרך כלל, מושגים גדולים של אינסוף 'מסדרים את עצמם' במובן זה שגם אם הם מתגלים בהקשרים שונים, אחד מהם תמיד גדול או קטן יותר מהאחרים", אמרה לנו אגילרה. "נראה שהקרדינלים המדויקים הם שונים."
זה לא רק שהם לא ממש מתאימים לעצמם - הם גורמים גם לקרדינלים שמתנהגים בצורה טובה לפעול, הוא מסביר. "הם מקיימים אינטראקציה מוזרה מאוד עם מושגים קודמים של אינסוף", הסבירה אגילרה. "הם מעצימים אינסוףים אחרים: קרדינלים הנחשבים 'גדולים במידה' מתנהגים כמו אינסוף גדול בהרבה בנוכחות קרדינלים אולטרה-מדוייקים."
זה סבך בלתי צפוי במה שחשבנו שהוא היררכיה מסודרת למדי - ויש לזה השלכות עמוקות על האופן שבו אנו יכולים לדמיין אינסוף קדימה. "לדעתי זה מראה שיש שינוי מסוים שצריך לעשות", אמרה אגילרה. "אולי מבנה האינסוף מורכב יותר ממה שחשבנו, וזה מחייב חקירה מעמיקה וזהירה יותר."
ובכל זאת, אלו חדשות רעות להשערת HOD. אם מתקבלים קרדינלים מדוייקים ומדויקים, זה רק קפיצה קצרה כדי להראות שהשערת HOD שקרית - שבסופו של דבר, הכאוס, לא הסדר, מנצח.
זו לא מכת הרג - זכרו, יש להציג את קיומם של הקרדינלים הגדולים הללו באמצעות אקסיומה ולא להוכיח בקפדנות, כך שהתוצאות "אינן מפריכות ישירות את השערת HOD", הזהיר באגריה. "אבל [הם] מספקים ראיות חזקות מאוד נגד זה, בניגוד לאינטואיציות הרווחות."
אבל הנה השאלה: אחרי כל כך הרבה שנים של תקווה שהשערת HOD תנצח בסופו של דבר, האם זה באמת דבר כל כך רע שאולי לא? מה שבגאריה ועמיתיו מצאו עשוי להתערב באופן זמני, אבל הוא גם פותח עולם חדש עשיר של קרדינלים גדולים, עם התנהגויות והשלכות שהבשלו למחקר חדש.
"שלושתנו ועמיתים אחרים נמשיך ללמוד קרדינלים מדוייקים ומדויקים במיוחד", אמרה אגילרה ל-IFLScience. "יכול להיות שאלו הם המקרים הראשונים של סוג חדש של אינסוף."
"זה משהו שצריך להבהיר", אמר. "אולי זו רק ההתחלה."
ההדפסה המוקדמת זמינה ב-arXiv.
