נאבקים על החלטה גדולה בחיים? מתמטיקה אומרת שכדאי להשתמש ב"כלל 37 אחוזים"

החיים מלאים בהחלטות גדולות, ובחירה בין אפשרויות לכאורה אינסופיות יכולה להיות - ובכן, קשה בצורה משתקת. האם לקנות את הדירה הזו, או את הדירה הזו? לשתף עם בן הבית הזה, או עם מישהו אחר? הסתפקו במר פרפקט יפה, או מחזיקים מעמד כדי לראות אם מר פרפקט מגיע?

זה מספיק כדי לגרום לךיֵאוּשׁ– אבל אל תפחד: למדע יש את הפתרון. טוֹב,, בכל מקרה.

ייעול האפשרויות שלך

כמו מספר אולי מפתיע של עובדות מתמטיות, זה מצא תהילה כפאזל "בשביל הכיף" שהוגדר על ידימרטין גרדנר(השאר, כמובן, היו).

זו הייתה שנת 1960, כך שכתב המוחות נוסח "בעיית המזכירות" ורץ ככה: אתה צריך לשכור מזכירה; יֵשׁנמועמדים, להתראיין, ולהתקבל או לדחות, ברצף בסדר אקראי; אתה יכול לדרג אותם לפי התאמה ללא קשרים; לאחר שנדחה, לא ניתן להחזיר את המבקש; לבסוף, זה הכל או כלום - אתה לא הולך להיות מרוצה מהמועמד הרביעי או השני הטוב ביותר כאן.

הגדרות אחרות כללו את "בעיית הארוס" (אותו רעיון, אבל אתה מחפש ארוס במקום מזכירה) ואת "משחק הגוגול" - בגרסה הזו, אתה מרפרף פתקי נייר כדי לחשוף מספרים עד שתחליט שאתה כנראה שמצאתי את הגדול מכולם.

איך שאתה משחק בו, השאלה היא זהה: איך אתה יכול למקסם את ההסתברות לבחור את האפשרות הטובה ביותר הזמינה?

התשובה היא... צפויה באופן מפתיע, מסתבר.

כתוב במילים, זוהי בעיה מורכבת ובלתי ניתנת לגישה. במתמטיקה זה די פשוט.

"לבעיה הבסיסית הזו יש פתרון פשוט להפליא", כתב המתמטיקאי והסטטיסטיקאי תומס ס פרגוסוןבשנת 1989. "ראשית, אחד מראה שניתן להגביל את תשומת הלב לסוג הכללים של מספר שלם כלשהור> 1 דוחה את הראשוןר– מועמד אחד, ולאחר מכן בוחר את המועמד הבא שהוא הטוב ביותר בדירוג היחסי של המועמדים הנצפים."

לכן, כשאתה מתמודד עם זרם של בחירות אקראיות ורוצה לבחור את הטוב ביותר שנזרק עליך, הדבר הראשון שאתה צריך לעשות הוא... לדחות את כולם. כלומר, עד לנקודה מסוימת – וברגע שתגיעו לנקודה הזו, פשוט קבלו את המבקש, המחזר, או פתיל הנייר הבא, שמנצח את כל מה שראיתם עד כה.

השאלה כעת היא פשוטה: מתי מגיעים לנקודה הזו?

טוֹב,נניחנקודת העצירה היאמהמבקש - כולם עד אז נדחים. כעת, אם המבקש הטוב ביותר הוא (מ+1), מזל טוב, תקבל אותם ותקבל את השכר הטוב ביותר האפשרי.

אבל מה אם המועמד הטוב ביותר הוא (מ+2) ה? ובכן, אז יש לנו שתי דרכים שזה יכול ללכת: או (מ+1) היה טוב יותר מהראשוןמ, אבל לא הכי טוב שאפשר, ובמקרה רע - אתה לא מקבל את המועמד הטוב ביותר, כי כבר בחרת את קודמו -אוֹדחית את (מ+1) וקבל את (מ+2) ה.

עכשיו, באופן טבעי, אנחנו רוצים את התרחיש השני, לא את הראשון - אז הנה כמה חדשות טובות: מתוך כל הסידורים של הראשון (מ+1) מועמדים, יש רק 1/(מ+1) תרחישים שבהם תקבל את (מ1+ במקום (מ+2) ה. זה אומר שיש עדייןמ/(מ+1) תרחישים שבהם אתה מחזיק מעמד ומקבל את הטוב ביותר.

אוקיי, אז מה אם המועמד הטוב ביותר יושב ב(מ+3)? ובכן, הם מתקבלים רק אם אף אחד מהמועמדים לא (מ+1) ולא מגיש בקשה (מ+2) לנצח את כולם לפניהם - וזה קורה רק תוך 2/(מ+2) של מקרים. שוב, זה אומר שאתה מחזיק מעמד על הצד הטוב ביותרמ/(מ+2) מקרים.

אולי אתה כבר רואה דפוס: באופן כללי, אם הנהמבקש הוא הטוב ביותר, הם יתקבלומ/(n –1) פעמים מתוך (n –1).

כפי שאנו מאפשריםנלגדול עד אינסוף, הדפוס הזה הופך לגבול. "ההסתברות, ϕ(ר), של בחירת המועמד הטוב ביותר הוא 1/נעֲבוּרר= 1," מסביר פרגוסון, "ועבורר> 1 […] הסכום הופך לקירוב רימן לאינטגרל,

עכשיו השאלה היא: איך אנחנו ממקסמים את הערך הזה? והתשובה היא למעשה די פשוטה: אתה קובעxלהיות 1/ה, שזה בערך 0.368.

בגלל האופן שבו הלוגריתמים והמעריכים עובדים, זה אומר ש-ϕ(ר) = 0.367879... מדי. במילים אחרות, "זה בערך אופטימלי לחכות עד שכ-37% מהמועמדים ירואיינו ואז לבחור את המועמד הבא הטוב יחסית", הסביר פרגוסון. "ההסתברות להצלחה היא גם כ-37%".

זה אולי לא נשמע סופר מרשים - זה רק יותר מסיכוי אחד לשלושה שתמצא את האפשרות הטובה ביותר האפשרית, אחרי הכל. אבל כשחושבים על האלטרנטיבה, זה מדהים: "אם תבחר לא לפעול על פי האסטרטגיה הזו ובמקום זאת תבחר להתיישב עם בן זוג באקראי, היה לך רק 1/נסיכוי למצוא את אהבתך האמיתית, או רק 5 אחוז אם נגזר עליך לצאת עם 20 אנשים במהלך חייך, למשל", כתב, פרופסור להבנה הציבורית של מתמטיקה באוניברסיטת קיימברידג', בהספר 2015 המתמטיקה של אהבה: דפוסים, הוכחות והחיפוש אחר המשוואה האולטימטיבית.

"אבל על ידי דחיית 37 האחוזים הראשונים של האוהבים שלך וביצוע האסטרטגיה הזו, אתה יכול לשנות באופן דרמטי את הון שלך, ל-38.42 אחוז עצום עבור גורל עם 20 מאהבים פוטנציאליים."

האם זה באמת עובד?

אז: 37 אחוז. לא משנה מה אתה בוחר; כמה אפשרויות יש לך; הכל מסתכם באחוז הכל כך חשוב הזה. נשמע קצת טוב מכדי להיות אמיתי, לא?

"אני מתמטיקאי ולכן מוטה, אבל התוצאה הזו ממש מפוצצת את דעתי", כתב פריי. "יש לך שלושה חודשים למצוא איפה לגור? דחו הכל בחודש הראשון ואז בחרו את הבית הבא שיגיע שהוא האהוב עליכם עד כה. לשכור עוזר? דחה את 37 האחוזים הראשונים של המועמדים ואז תן את המשרה לאדם הבא שאתה מעדיף על פני כולם".

לכן, אם ההיגיון נכון, והמתמטיקה בודקת - מה שכן - למה זה מגיעתְחוּשָׁהכל כך לא בסדר? ובכן, כפי שציין פריי ב-a2014 טד טוק, יש כמה ברגים בעולם האמיתי שיכולים להיזרק פנימה: "השיטה הזו כרוכה בכמה סיכונים", אמרה; "לדוגמה, תאר לעצמך אם בן הזוג המושלם שלך הופיע במהלך 37 האחוזים הראשונים שלך. עכשיו, למרבה הצער, תצטרך לדחות אותם."

אבל "אם אתה עוקב אחרי המתמטיקה," היא המשיכה, "אני חוששת שאף אחד אחר לא יבוא זה יותר טוב מכל אחד שראית בעבר, אז אתה צריך להמשיך לדחות את כולם, ולמות לבד."

ובכל זאת, יש דרך להימנע: הורידו את הסטנדרטים שלכם.

"המתמטיקה מניחה שאתה מעוניין רק למצוא את השותף הטוב ביותר האפשרי שעומד לרשותך", כתב פריי. "אבל במציאות, רבים מאיתנו יעדיפו בן זוג טוב על פני להיות לבד אם האחד אינו זמין."

אז, בטח, יש לך בערך 37 אחוז סיכוי למצוא את האחד על ידי דחיית 37 האחוזים הראשונים שמגיעים - אבל מה אם אתה בסדר עם רק למצוא את אחד מ-5 האחוזים המובילים, נגיד? ובכן, במקרה כזה, נקודת העצירה שלך נמוכה יותר: "אם אתה דוחה בני זוג שמופיעים ב-22 האחוזים הראשונים של חלון ההיכרויות שלך ותבחר באדם הבא שיגיע שהוא טוב יותר מכל מי שפגשת לפני […] אני אסתפק עם מישהו בתוך 5 האחוזים העליונים של השותפים הפוטנציאליים שלך ב-57 אחוז מרשימים מהמקרים", הסביר פריי.

קבל כל אחד מ-15 האחוזים המובילים של ההתאמות הפוטנציאליות, והסיכויים שלך יטפסו אפילו יותר. לאחר מכן, אתה רק צריך לדחות את 19 האחוזים הראשונים שמגיעים - ואתה יכול לצפות לסיכוי הצלחה של כמעט ארבע לחמישה.

ובואו נודה בזה: כשזה מגיע לאהבה,אלו סיכויים לא רעים., בכל מקרה.